作者：京東物流 崔旭
我們都知道，數據結構和算法本身解決的是“快”和“省”的問題，即如何讓代碼運行得更快，如何讓代碼更省存儲空間。所以，執行效率是算法一個非常重要的考量指標。那如何來衡量你編寫的算法代碼的執行效率呢？這里就要用到我們今天要講的內容：時間、空間復雜度分析。
1 為什么需要復雜度分析？你可能會有些疑惑，我把代碼跑一遍，通過統計、監控，就能得到算法執行的時間和占用的內存大小。為什么還要做時間、空間復雜度分析呢？這種分析方法能比實實在在跑一遍得到的數據更準確嗎？
首先可以肯定地說，這種評估算法執行效率的方法是正確的。很多數據結構和算法書籍還給這種方法起了一個名字，叫事后統計法。但是，這種統計方法有非常大的局限性。
1.1 測試結果非常依賴測試環境測試環境中硬件的不同會對測試結果有很大的影響。比如，我們拿同樣一段代碼，分別用 Intel Core i9 處理器和 Intel Core i3 處理器來運行，i9 處理器要比 i3 處理器執行的速度快很多。還有，比如原本在這臺機器上 a 代碼執行的速度比 b 代碼要快，等我們換到另一臺機器上時，可能會有截然相反的結果。
1.2 測試結果受數據規模的影響很大對同一個排序算法，待排序數據的有序度不一樣，排序的執行時間就會有很大的差別。極端情況下，如果數據已經是有序的，那排序算法不需要做任何操作，執行時間就會非常短。除此之外，如果測試數據規模太小，測試結果可能無法真實地反應算法的性能。比如，對于小規模的數據排序，插入排序可能反倒會比快速排序要快！
所以，我們需要一個不用具體的測試數據來測試，就可以粗略地估計算法的執行效率的方法，這就是我們接下來要說的大O復雜度表示法。
2 大O復雜度表示法算法的執行效率，粗略地講，就是算法代碼執行的時間。但是，如何在不運行代碼的情況下，用“肉眼”得到一段代碼的執行時間呢？
這里有段非常簡單的代碼，求 1,2,3…n 的累加和。現在，一塊來估算一下這段代碼的執行時間吧。
從 CPU 的角度來看，這段代碼的每一行都執行著類似的操作：讀數據-運算-寫數據。盡管每行代碼對應的 CPU 執行的個數、執行的時間都不一樣，但是，我們這里只是粗略估計，所以可以假設每行代碼執行的時間都一樣，為 unit_time。在這個假設的基礎之上，這段代碼的總執行時間是多少呢？
第 2、3 行代碼分別需要 1 個 unit_time 的執行時間，第 4、5 行都運行了 n 遍，所以需要 2nunit_time 的執行時間，所以這段代碼總的執行時間就是 (2n+2)unit_time。可以看出來，所有代碼的執行時間 T(n) 與每行代碼的執行次數成正比。
按照這個分析思路，我們再來看這段代碼。
我們依舊假設每個語句的執行時間是 unit_time。那這段代碼的總執行時間 T(n) 是多少呢？
第 2、3、4 行代碼，每行都需要 1 個 unit_time 的執行時間，第 5、6 行代碼循環執行了 n 遍，需要 2n unit_time 的執行時間，第 7、8 行代碼循環執行了 n2遍，所以需要 2n2 unit_time 的執行時間。所以，整段代碼總的執行時間 T(n) = (2n2+2n+3)*unit_time。
盡管我們不知道 unit_time 的具體值，但是通過這兩段代碼執行時間的推導過程，我們可以得到一個非常重要的規律，那就是，所有代碼的執行時間 T(n) 與每行代碼的執行次數 n 成正比。我們可以把這個規律總結成一個公式。注意，大 O 就要登場了！
我來具體解釋一下這個公式。其中，T(n) 我們已經講過了，它表示代碼執行的時間；n 表示數據規模的大小；f(n) 表示每行代碼執行的次數總和。因為這是一個公式，所以用 f(n) 來表示。公式中的 O，表示代碼的執行時間 T(n) 與 f(n) 表達式成正比。
所以，第一個例子中的 T(n) = O(2n+2)，第二個例子中的 T(n) = (2n2+2n+3)。這就是大O時間復雜度表示法。大O時間復雜度實際上并不具體表示代碼真正的執行時間，而是表示代碼執行時間隨數據規模增長的變化趨勢，所以，也叫作漸進時間復雜度，簡稱時間復雜度。
當 n 很大時，你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低階、常量、系數三部分并不左右增長趨勢，所以都可以忽略。我們只需要記錄一個最大量級就可以了，如果用大 O 表示法表示剛講的那兩段代碼的時間復雜度，就可以記為：T(n) = O(n)； T(n) = O(n2)。
3 時間復雜度分析前面介紹了大 O 時間復雜度的由來和表示方法。現在我們來看下，如何分析一段代碼的時間復雜度？
3.1 只關注循環執行次數最多的一段代碼大 O 這種復雜度表示方法只是表示一種變化趨勢。我們通常會忽略掉公式中的常量、低階、系數，只需要記錄一個最大階的量級就可以了。所以，我們在分析一個算法、一段代碼的時間復雜度的時候，也只關注循環執行次數最多的那一段代碼就可以了。這段核心代碼執行次數的 n 的量級，就是整段要分析代碼的時間復雜度。
為了便于你理解，我還拿前面的例子來說明。
其中第 2、3 行代碼都是常量級的執行時間，與 n 的大小無關，所以對于復雜度并沒有影響。循環執行次數最多的是第 4、5 行代碼，所以這塊代碼要重點分析。前面我們也講過，這兩行代碼被執行了 n 次，所以總的時間復雜度就是 O(n)。
3.2 加法法則：總復雜度等于量級最大的那段代碼的復雜度這里還有一段代碼。
這個代碼分為三部分，分別是求 sum_1、sum_2、sum_3。我們可以分別分析每一部分的時間復雜度，然后把它們放到一塊兒，再取一個量級最大的作為整段代碼的復雜度。
第一段的時間復雜度是多少呢？這段代碼循環執行了 100 次，所以是一個常量的執行時間，跟 n 的規模無關。
即便這段代碼循環 10000 次、100000 次，只要是一個已知的數，跟 n 無關，照樣也是常量級的執行時間。當 n 無限大的時候，就可以忽略。盡管對代碼的執行時間會有很大影響，但是回到時間復雜度的概念來說，它表示的是一個算法執行效率與數據規模增長的變化趨勢，所以不管常量的執行時間多大，我們都可以忽略掉。因為它本身對增長趨勢并沒有影響。
那第二段代碼和第三段代碼的時間復雜度是多少呢？答案是 O(n) 和 O(n2)。
綜合這三段代碼的時間復雜度，我們取其中最大的量級。所以，整段代碼的時間復雜度就為 O(n2)。也就是說：總的時間復雜度就等于量級最大的那段代碼的時間復雜度。那我們將這個規律抽象成公式就是：
如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).
3.3 乘法法則：嵌套代碼的復雜度等于嵌套內外代碼復雜度的乘積剛講了一個復雜度分析中的加法法則，這兒還有一個乘法法則。類比一下，你應該能“猜到”公式是什么樣子的吧？
如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)T2(n)=O(f(n))O(g(n))=O(f(n)*g(n)).
也就是說，假設 T1(n) = O(n)，T2(n) = O(n2)，則 T1(n) * T2(n) = O(n3)。落實到具體的代碼上，我們可以把乘法法則看成是嵌套循環，我舉個例子給你解釋一下。
我們單獨看 cal() 函數。假設 f() 只是一個普通的操作，那第 4～6 行的時間復雜度就是，T1(n) = O(n)。但 f() 函數本身不是一個簡單的操作，它的時間復雜度是 T2(n) = O(n)，所以，整個 cal() 函數的時間復雜度就是，T(n) = T1(n) T2(n) = O(nn) = O(n2)。
3.4 幾種常見時間復雜度實例分析雖然代碼千差萬別，但是常見的復雜度量級并不多。稍微總結了一下，這些復雜度量級幾乎涵蓋了大部分的場景。
對于剛羅列的復雜度量級，我們可以粗略地分為兩類，多項式量級和非多項式量級。其中，非多項式量級只有兩個：O(2?) 和 O(n!)。
當數據規模 n 越來越大時，非多項式量級算法的執行時間會急劇增加，求解問題的執行時間會無限增長。所以，非多項式時間復雜度的算法其實是非常低效的算法。我們主要來看幾種常見的多項式時間復雜度。
1.O(1)首先你必須明確一個概念，O(1) 只是常量級時間復雜度的一種表示方法，并不是指只執行了一行代碼。比如這段代碼，即便有 3 行，它的時間復雜度也是 O(1），而不是 O(3)。
只要代碼的執行時間不隨 n 的增大而增長，這樣代碼的時間復雜度我們都記作 O(1)。或者說，一般情況下，只要算法中不存在循環語句、遞歸語句，即使有成千上萬行的代碼，其時間復雜度也是Ο(1)。
2.O(logn)、O(nlogn)對數階時間復雜度非常常見，同時也是最難分析的一種時間復雜度。我通過一個例子來說明一下。
根據我們前面講的復雜度分析方法，第三行代碼是循環執行次數最多的。所以，我們只要能計算出這行代碼被執行了多少次，就能知道整段代碼的時間復雜度。
從代碼中可以看出，變量 i 的值從 1 開始取，每循環一次就乘以 2。當大于 n 時，循環結束。
實際上，變量 i 的取值就是一個等比數列。如果我把它一個一個列出來，就應該是這個樣子的：
所以，我們只要知道 x 值是多少，就知道這行代碼執行的次數了。通過 2?=n 求解 x ，x=log?n，所以，這段代碼的時間復雜度就是 O(log?n)。
現在，我把代碼稍微改下，你再看看，這段代碼的時間復雜度是多少？
根據我剛剛講的思路，很簡單就能看出來，這段代碼的時間復雜度為 O(log?n)。
實際上，不管是以 2 為底、以 3 為底，還是以 10 為底，我們可以把所有對數階的時間復雜度都記為 O(logn)。為什么呢？
我們知道，對數之間是可以互相轉換的，log?n 就等于 log?2 log?n，所以 O(log?n) = O(C log?n)，其中 C=log?2 是一個常量。基于我們前面的一個理論：在采用大 O 標記復雜度的時候，可以忽略系數，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log?n) 就等于 O(log?n)。因此，在對數階時間復雜度的表示方法里，我們忽略對數的“底”，統一表示為 O(logn)。
如果你理解了O(logn)，那 O(nlogn) 就很容易理解了。還記得我們剛講的乘法法則嗎？如果一段代碼的時間復雜度是 O(logn)，我們循環執行 n 遍，時間復雜度就是 O(nlogn) 了。而且，O(nlogn) 也是一種非常常見的算法時間復雜度。比如，歸并排序、快速排序的時間復雜度都是 O(nlogn)。
3.O(m+n)、O(m*n)我們再來講一種跟前面都不一樣的時間復雜度，代碼的復雜度由兩個數據的規模來決定。老規矩，先看代碼！
從代碼中可以看出，m 和 n 是表示兩個數據規模。我們無法事先評估 m 和 n 誰的量級大，所以我們在表示復雜度的時候，就不能簡單地利用加法法則，省略掉其中一個。所以，上面代碼的時間復雜度就是 O(m+n)。
針對這種情況，原來的加法法則就不正確了，我們需要將加法規則改為：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法則繼續有效：T1(m)T2(n) = O(f(m) f(n))。
4 空間復雜度分析前面，咱們花了很長時間講大 O 表示法和時間復雜度分析，理解了前面講的內容，空間復雜度分析方法學起來就非常簡單了。
時間復雜度的全稱是漸進時間復雜度，表示算法的執行時間與數據規模之間的增長關系。類比一下，空間復雜度全稱就是漸進空間復雜度，表示算法的存儲空間與數據規模之間的增長關系。
還是拿具體的例子來說明。
跟時間復雜度分析一樣，我們可以看到，第 2 行代碼中，我們申請了一個空間存儲變量 i，但是它是常量階的，跟數據規模 n 沒有關系，所以我們可以忽略。第 3 行申請了一個大小為 n 的 int 類型數組，除此之外，剩下的代碼都沒有占用更多的空間，所以整段代碼的空間復雜度就是 O(n)。
我們常見的空間復雜度就是 O(1)、O(n)、O(n2)，像 O(logn)、O(nlogn) 這樣的對數階復雜度平時都用不到。而且，空間復雜度分析比時間復雜度分析要簡單很多。
復雜度也叫漸進復雜度，包括時間復雜度和空間復雜度，用來分析算法執行效率與數據規模之間的增長關系，可以粗略地表示，越高階復雜度的算法，執行效率越低。常見的復雜度并不多，從低階到高階有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2)。
